Kepler Kanunları

Gezegenlerin gökyüzündeki hareketleri ilkçağlardan itibaren insanların ilgisini çekmiştir. Uzun süre boyunca Dünya'nın evrenin merkezinde olduğuna (yer merkezli model) ve gezegenlerin kusursuz çemberler çizdiğine inanılmıştır. Kopernik, Güneş merkezli modeli öne sürerek büyük bir devrim başlatmıştır. Ancak gezegenlerin yörüngelerinin tam çember olmadığı Tycho Brahe'nin titiz gözlemleri sayesinde ortaya çıkmıştır. Tycho Brahe'nin asistanı olan Alman astronom ve matematikçi Johannes Kepler, bu devasa veri yığınını yıllarca analiz etmiş ve gezegenlerin hareketini açıklayan üç temel yasa formüle etmiştir. Kepler Kanunları, modern astrofiziğin ve Newton'un evrensel kütle çekim yasasının temel taşlarını oluşturur.

1. Yörüngeler Kanunu

Kepler'in birinci kanunu gezegenlerin yörünge şeklini tanımlar: "Güneş sistemi'ndeki her gezegen, odaklarından birinde Güneş'in bulunduğu elips şeklinde bir yörüngede dolanır."

Elips, iki odağı olan kapalı bir eğridir. Gezegenlerin yörüngeleri çembere çok yakın elipsler olsa da (dış merkezlikleri düşüktür), tam bir çember değillerdir. Güneş bu elipsin tam ortasında değil, iki odaktan birindedir. Bu nedenle gezegenler dolanımları sırasında Güneş'e bazen yaklaşır, bazen uzaklaşırlar. Dünya'nın Güneş'e en yakın olduğu noktaya Günberi (Perihel) denir ve yaklaşık 3 Ocak tarihinde gerçekleşir. En uzak olduğu noktaya ise Günöte (Aphel) denir ve yaklaşık 4 Temmuz'da gerçekleşir. (Mevsimlerin oluşumunun Güneş'e olan uzaklıkla değil, eksen eğikliği ile ilgili olduğunu unutmayalım.)

2. Alanlar Kanunu

Kepler'in ikinci kanunu gezegenlerin yörüngedeki hız değişimlerini açıklar: "Gezegeni Güneş'e birleştiren yarıçap vektörü, eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar."

Gezegen Güneş etrafında dolanırken yörünge hızı sabit değildir. Gezegen Güneş'e yaklaştığında, eşit alana sahip bir bölgeyi tarayabilmesi için yörünge üzerinde daha uzun bir yay çizmesi, dolayısıyla hızlanması gerekir. Güneş'ten uzaklaştığında ise daha yavaş hareket eder. Alanlar kanunu, aslında fizikteki açısal momentumun korunumu ilkesinin doğrudan bir sonucudur. Kütle çekim kuvveti merkeze yönelik olduğundan tork oluşturmaz, gezegenin açısal momentumu ($L = m \cdot v \cdot r$) sabittir. Yarıçap ($r$) küçüldüğünde hız ($v$) artar, yarıçap büyüdüğünde hız azalır. Eğer bir gezegen A noktasından B noktasına $t$ sürede, C noktasından D noktasına yine aynı $t$ sürede gidiyorsa, bu yayların Güneş'e birleştirilmesiyle oluşan alanlar eşittir ($S_1 = S_2$).

3. Periyotlar Kanunu

Kepler'in üçüncü kanunu, farklı gezegenlerin yörünge hareketlerini birbiriyle kıyaslar: "Gezegenlerin yörüngelerindeki dolanım periyotlarının karelerinin, elips yörüngenin ortalama yarıçapının küpüne oranı Güneş sistemindeki tüm gezegenler için aynıdır ve sabittir."

Elipsin ortalama yarıçapı ($R$), gezegenin Güneş'e olan maksimum ve minimum uzaklıklarının ortalaması (yarı büyük eksen uzunluğu) olarak tanımlanır. Dolanım süresi yani periyot ($T$) ile ifade edildiğinde: $$ \frac{T_1^2}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{R_2^3} = \text{Sabit} $$ şeklindedir.

Bu yasa, bir gezegen Güneş'ten ne kadar uzaktaysa, yörüngede dolanma süresinin o kadar uzun olduğunu matematiksel olarak kanıtlar. Örneğin, Güneş'e en yakın gezegen Merkür'ün periyodu yaklaşık 88 Dünya günü iken, en uzak gezegenlerden olan Neptün'ün periyodu yaklaşık 165 Dünya yılıdır.

Periyotlar kanununun arkasındaki fiziksel neden de yine Newton'un Kütle Çekim Yasası'dır. Çembersel bir yörünge varsayımıyla kütle çekim kuvvetini merkezcil kuvvete eşitlediğimizde ($G rac{M\cdot m}{R^2} = m rac{4\pi^2 R}{T^2}$) şu oran elde edilir: $$ \frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M} $$ Bu denklemdeki $G$ evrensel çekim sabiti ve $M$ Güneş'in kütlesi olduğu için, oranın Güneş sistemindeki tüm gezegenler için neden sabit olduğu teorik olarak da ispatlanmış olur. Aynı oran, Dünya'nın etrafında dönen Ay ve yapay uydular kendi aralarında kıyaslandığında da sabittir (ancak bu durumda M, Dünya'nın kütlesi olur).

Kepler Kanunlarının Teorik Arka Planı ve Sonuçları

Kepler Kanunları, ortaya atıldığı dönemde sadece gözlemsel verilere (empirik verilere) dayanıyordu. Kepler bu kanunların "neden" böyle olduğunu bilmiyordu, sadece doğanın bu matematiksel düzene uyduğunu Tycho Brahe'nin hassas gözlemlerini yıllarca inceleyerek keşfetmişti. Bu yasaların arkasındaki fiziksel nedenselliği yıllar sonra Isaac Newton, evrensel kütle çekim yasasını ve hareket yasalarını ortaya koyarak ispatladı.

Yörünge Enerjisi ve Uydu Hareketleri

Bir gezegenin Güneş etrafında (veya bir uydunun Dünya etrafında) dengeli bir yörüngede kalabilmesi için hızının belirli bir değerde olması gerekir. Yörüngedeki dolanım hızı, merkezdeki kütlenin büyüklüğüne ve yörünge yarıçapına bağlıdır. Merkezcil kuvveti kütle çekim kuvvetine eşitleyerek uydunun yörünge çizgisel hızını bulabiliriz: $$ m \frac{v^2}{R} = G \frac{M \cdot m}{R^2} $$ Buradan uydunun (veya gezegenin) çizgisel yörünge hızı: $$ v = \sqrt{\frac{GM}{R}} $$ olarak bulunur. Bu denklem çok önemli iki sonuç verir: 1. Yörüngede dönen uydunun hızı, kendi kütlesinden bağımsızdır. (Tonlarca ağırlığındaki bir uzay istasyonu ile yanındaki bir astronot, aynı yörüngede aynı hızla dönerler.) 2. Uydu gezegene ne kadar yakınsa ($R$ küçük), yörünge hızı o kadar büyük olmak zorundadır ki, kütle çekiminin artan şiddetine karşı koyup gezegene düşmesin. (Bu durum Kepler'in alanlar kanunu ve periyotlar kanunu ile tam bir uyum içindedir.)

Dünya'nın Mevsimleri ve Kepler Kanunları

Birçok öğrenci yaz aylarında havaların sıcak olmasını, Dünya'nın Güneş'e daha yakın olmasına bağlama eğilimindedir. Ancak Kepler'in yörüngeler kanununa göre Dünya'nın Güneş'e en yakın olduğu tarih 3 Ocak civarıdır (Günberi). Kuzey yarımkürede 3 Ocak tarihinde kış yaşanırken, Güney yarımkürede yaz yaşanır. Dolayısıyla mevsimlerin oluşmasının nedeni Güneş'e olan uzaklığın eliptik yörünge nedeniyle değişmesi değildir. Asıl neden Dünya'nın dönme ekseninin $23,5^\circ$'lik bir eğikliğe sahip olması ve güneş ışınlarının geliş açısının yıl boyunca değişmesidir. Eliptik yörüngenin mevsimlere olan tek küçük etkisi, kış ve yaz mevsimlerinin uzunluklarındaki birkaç günlük farklarda ortaya çıkar. (Dünya Güneş'e yakınken alanlar kanunu gereği daha hızlı döndüğü için Kuzey yarımkürenin kışı, yazından biraz daha kısa sürer.)