Basit Harmonik Harekette Konumun Zamana Göre Değişimi

Basit harmonik hareketin mekaniğini tam olarak anlayabilmek için cismin herhangi bir $t$ anında nerede olduğunu yani uzanımını veren matematiksel modeli oluşturmamız gerekir. Cisim $+r$ ve $-r$ arasında periyodik olarak gidip geldiği için, konumu da zamanın düzgün artışına karşılık periyodik olarak artıp azalacaktır. Matematikte bu tür tekrarlayan, periyodik hareketler trigonometrik fonksiyonlar olan sinüs ve kosinüs fonksiyonları ile ifade edilir.

Bu denklemleri ezberlemek yerine düzgün çembersel hareketten nasıl türetildiğini anlamak, konunun mantığını kavramak açısından son derece önemlidir.

Konum Denkleminin Çıkarılışı

Bir cismin yarıçapı $r$ olan bir çember üzerinde düzgün çembersel hareket yaptığını ve $t=0$ anında x ekseni üzerindeki $K (+r)$ noktasında bulunduğunu varsayalım. Cisim, $\omega$ açısal hızıyla saatin tersi yönünde dönmeye başlasın.

$t$ süre sonra cismin yarıçap vektörünün yatay eksenle (x ekseni) yaptığı açı (taradığı açı) $\alpha$ olur. Açısal hızın tanımından bildiğimiz gibi, açı eşittir açısal hız çarpı zamandır: $$ \alpha = \omega \cdot t $$

Bu cismin herhangi bir $t$ anındaki konumunun x ekseni üzerindeki izdüşümünü ($x$) arıyoruz. Dik üçgende trigonometrik oranları kullanırsak; komşu dik kenar $x$, hipotenüs $r$ olduğundan: $$ \cos \alpha = \frac{x}{r} $$ Buradan $x$ değerini çektiğimizde: $$ x = r \cdot \cos \alpha $$ elde ederiz. Yukarıda bulduğumuz $\alpha = \omega \cdot t$ eşitliğini yerine yazdığımızda ise, basit harmonik hareketin zamana bağlı konum denklemini buluruz: $$ x(t) = r \cdot \cos(\omega \cdot t) $$

Eğer başlangıç anında ($t=0$) cisim K noktasında (kenarda) değil de O noktasında (denge konumunda) olsaydı ve pozitif yönde harekete başlasaydı, bu kez denge konumundan uzaklaşma miktarını sinüs fonksiyonu ile bulurduk: $$ x(t) = r \cdot \sin(\omega \cdot t) $$

[!NOTE] Sinüs mü, Kosinüs mü? Eğer cisim harekete (t=0 anında) uç noktalardan (maksimum genlikten) başlıyorsa konum denklemi $\cos(\omega t)$ ile yazılır (çünkü cos(0)=1'dir). Eğer cisim harekete denge konumundan başlıyorsa konum denklemi $\sin(\omega t)$ ile yazılır (çünkü sin(0)=0'dır). Fizik problemlerinde çoğunlukla $r \cdot \sin(\omega t)$ veya $r \cdot \cos(\omega t)$ kullanılarak işlem yapılabilir, sadece hareketin başlangıç noktasına dikkat edilmelidir.

Konum-Zaman Grafiğinin Analizi

Konum denklemi olan $x = r \cdot \sin(\omega t)$ fonksiyonunun zaman ($t$) eksenine göre grafiğini çizdiğimizde karşımıza bir sinüsoidal dalga çıkar.

• $t = 0$ anında uzanım $x = 0$ (Denge konumu)
• $t = \frac{T}{4}$ anında uzanım $x = +r$ (Pozitif maksimum genlik, sağ uç nokta)
• $t = \frac{T}{2}$ anında uzanım $x = 0$ (Denge konumuna dönüş)
• $t = \frac{3T}{4}$ anında uzanım $x = -r$ (Negatif maksimum genlik, sol uç nokta)
• $t = T$ anında uzanım $x = 0$ (Tam bir salınım bitti, başlangıç noktasına dönüş)

Grafik üzerindeki bu noktalar bize, cismin nerede hızlanıp nerede yavaşladığını dolaylı olarak gösterir. Eğrinin eğimi, o andaki hızı temsil eder. Denge konumu ($x=0$) geçişlerinde grafiğin eğimi maksimumdur; bu da cismin denge konumundan en yüksek hızla geçtiğini ispatlar. Uç noktalarda ($x=\pm r$) ise grafiğin eğimi anlık olarak sıfırdır (tepe noktası), cisim anlık olarak durur ve yön değiştirir.

Faz Açısı ve Faz Farkı

Gerçek hayatta cisim her zaman kronometreyi başlattığımız an tam uç noktada veya tam denge konumunda olmayabilir. Cisim, ara bir konumdayken kronometre başlatılırsa ($t=0$), denkleme bir başlangıç açısı eklenmesi gerekir. Bu başlangıç açısına faz açısı ($\phi_0$) denir. Genel konum denklemi bu durumda: $$ x(t) = r \cdot \sin(\omega t + \phi_0) $$ olarak ifade edilir. Faz açısı radyan cinsinden yazılır ve cismin başlangıçtaki "öncelik" durumunu belirtir. Eğer aynı frekansla titreşen iki sarkaç varsa, hareketlerinin tepe ve çukur noktalarının zamanlaması arasındaki açısal farka faz farkı denir.

Örnek Matematiksel İnceleme

Soru: Sürtünmesiz yatay düzlemde bir yay sarkacı basit harmonik hareket yapmaktadır. Sarkacın periyodu $T = 6$ saniye ve genliği $r = 40$ cm'dir. Cisim t=0 anında denge konumundan pozitif yönde geçerek harekete başladığına göre, t = 1 saniye anındaki uzanımı kaç cm'dir?

Çözüm: Cisim harekete denge konumundan başladığı için konum denklemi $x = r \cdot \sin(\omega t)$ olacaktır. Öncelikle açısal frekansı ($\omega$) bulalım: $$ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\cdot 3}{6} = 1 \text{ rad/s} \quad (\pi = 3 \text{ alalım}) $$ Genlik $r = 40$ cm olarak verilmiş. Konum denklemi: $$ x(t) = 40 \cdot \sin(1 \cdot t) $$ $t = 1$ saniye anındaki konumu bulmak için $t$ yerine 1 yazarız (Ancak dikkat: buradaki açı radyan cinsindendir, eğer $\pi=180^\circ$ kabul edersek gerçek açıyı dereceden hesaplamak daha kolaydır): Gerçek çözümle, $\pi$ yerine $180^\circ$ koyarak $\omega = \frac{2 \cdot 180^\circ}{6} = 60^\circ / s$ bulunur. $$ x = 40 \cdot \sin(60^\circ \cdot 1) = 40 \cdot \sin(60^\circ) $$ $$ x = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \text{ cm} $$ Yani cisim 1. saniyenin sonunda denge konumundan $20\sqrt{3}$ cm uzaklıktadır.

Konumun zamana bağlı denklemi ve grafiği, hareketin tüm resmini çizmemize olanak tanır ve hız ile ivme denklemlerinin de temelini oluşturur.